题目

求证方程ax²+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1．

提问时间：2021-02-23

答案

充分性：当a=0时，方程变为2x+1=0，其根为x=−

1

2

，方程只有一个负根；
当a=1时，方程为x²+2x+1=0．其根为x=-1，
方程只有一个负根．
当a＜0时，△=4（1-a）＞0，方程有两个不相等的根，且

1

a

＜0，方程有一正一负根．
必要性：若方程ax²+2x+1=0有且仅有一个负根．
当a=0时，适合条件．
当a≠0时，方程ax²+2x+1=0有实根，
则△=4（1-a）≥0，∴a≤1，
当a=1时，方程有一个负根x=-1．
若方程有且仅有一负根，则

a＜1 1 a ＜0

∴a＜0
综上方程ax²+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a=1

首先充分性，分别讨论a=1，a=0，与a＜0三种情形；其次怎么必要性，分别讨论a=0，与a≠0两种情形；

本题考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评：本题借助充分与必要条件考查了一元二次方程根的存在问题，属于中档题．