题目

如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则

AM

•

AN

的取值范围是______．

提问时间：2021-02-23

答案

以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，
以AD方向为y轴方向建立坐标系，则

AM

=（2，1）
设N点坐标为（x，y），则 

AN

=（x，y），则0≤x≤2，0≤y≤2
令Z=

AM

•

AN

=2x+y．
将A，B，C，D四点坐标依次代入得：
Z_A=0，Z_B=4，Z_C=6，Z_D=2
故Z=

AM

•

AN

的最大值为6，最小值为0，

AM

•

AN

的取值范围是[0，6]．
故答案为：[0，6]．

以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，在平面内建立合适的坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划方法解决问题．求出数量积的范围．

本题考点：平面向量数量积的运算．

考点点评：向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题．