题目

以知a,b为整数,且a^2+b^2为3的倍数,证明:a与b也是3的倍数.

提问时间：2021-02-23

答案

用反证法.假设a与b不都是3的倍数.
若a与b其中一个是3的倍数,而另一个不是,设a是3的倍数.由b²=3-a²知b²是3的倍数,知b也是3的倍数,矛盾,故该情况不成立.
若a与b都不是3的倍数,即a和b除以3余1或2,
首先研究形如3k+1和3k+2(k是整数)的数.
(3k+1)²=9k²+6k+1=3(3k²+2k)+1除以3余1,
(3k+2)²=9k²+12k+4=3(3k²+4k+1)+1除以3余1.
故无论a和b除以3余几,a²+b²除以3余1+1=2,与题设矛盾.
综上所述,a和b都是3的倍数.