题目

已知复数z₁=m+（4-m²）i（m∈R），z₂=2cosθ+（λ+3sinθ）i（λ∈R），若z₁=z₂，求λ的取值范围．

提问时间：2021-02-23

答案

∵z₁=z₂，
∴由两复数相等的充要条件得

m＝2cosθ 4−m2＝λ+3sinθ

∴λ=4-4cos² θ-3sin θ=4sin² θ-3sin θ
=4（sin θ-

3

8

）²-

9

16

，
∵sin θ∈[-1，1]．
由二次函数的性质知λ∈[-

9

16

，7]．
∴λ的取值范围是[-

9

16

，7]．

利用两复数相等的充要条件得

m＝2cosθ 4−m2＝λ+3sinθ

，消去m，再利用二次函数的单调性、正弦函数的单调性有界性即可得出．

本题考点：复数相等的充要条件．

考点点评：本题考查了两复数相等的充要条件、二次函数的单调性、正弦函数的单调性有界性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．