题目

高中数学柯西不等式证明题
x.y.z是正数 x+y+z=1
证明：x/(y+2z)+y/(z+2x)+z/(x+2y) ≥1

提问时间：2021-02-22

答案

这个证明方法很多
先证明两个小结论吧.
（x+y+z）²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx=1
（x²+y²+z²)(y²+z²+x²）≥（xy+yz+zx）²【柯西不等式】
得x²+y²+z²≥xy+yz+zx
于是1=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx≥xy+yz+zx+2xy+2yz+2zx=3(xy+yz+zx)
得xy+yz+zx≤1/3【当x=y=z=1/3时等号成立】
[x/(y+2z)+y/(z+2x)+z/(x+2y) ][x(y+2z)+y(z+2x)+z(x+2y)]≥（x+y+z）²=1【柯西不等式】
于是x/(y+2z)+y/(z+2x)+z/(x+2y) ≥1/[x(y+2z)+y(z+2x)+z(x+2y)]=1/3(xy+yz+zx)
xy+yz+zx≤1/3,得1/3(xy+yz+zx)≥1
于是x/(y+2z)+y/(z+2x)+z/(x+2y) ≥1