题目

已知关于x，y的二元二次方程x²+y²+2x-4y+k=0（k∈R）表示圆C．
（1）求圆心C的坐标；
（2）求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数k，使直线l：x-2y+4=0与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点）？若存在，请求出k的值，若不存在，说明理由．

提问时间：2021-02-22

答案

（1）由方程x²+y²+2x-4y+k=变形为（x+1）²+（y-2）²=5-k．
∴圆心C的坐标为（-1，2）；
（2）∵此方程表示圆，∴5-k＞0，解得k＜5，故k的取值范围是（-∞，5）；
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立直线与圆可得5y²-16y+8+k=0，
∵直线与圆相交，∴△=16²-20（8+k）＞0，化为k＜

24

5

．
∴y₁+y₂=

16

5

，y₁y₂=

8+m

5

．
∴x₁x₂=（4-2y₁）（4-2y₂）=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂，
∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=5y₁y₂-8（y₁+y₂）+16=0，
∴8+k-

8×16

5

+16=0，
解得k=

8

5

，满足k＜

24

5

，
故k=

8

5

．