题目

已知等腰直角三角形ABC内一点到三个顶点P的距离分别是PB＝1、PC＝2、PA＝3,其中C为直角顶点.求角BPC的度
已知等腰直角三角形ABC内一点到三个顶点P的距离分别是PB＝1、PC＝2、PA＝3，其中C为直角顶点。求角BPC的度

提问时间：2021-02-22

答案

做CD⊥AB于点D
以AB为x轴 CD为y轴
设p点坐标为（x,y）,DA=DB=DC=a
那么
①（a+x）² + y² = 9
②（a-y）² + x² = 4
③（a-x）² + y² = 1
由①③可得 ax = 2 所以 x = 2/a
由②③可得 2ax-2ay=3 所以y= 1/2a
代入①
4a^4 -20a^2 +17 = 0
a = √[（5+2√2）/2]
那么BC = √（5+2√2）
cos∠BPC = (BC² - BP² - CP² ) / （-2·BP·CP）
=(5+2√2 - 1 - 4) / 4 = - √2 / 2
所以∠BPC=Artcos （-√2 / 2）= 135°