题目

黎曼积分,广义积分,无界
黎曼积分的可积条件之一是函数有界,但是在广义积分里无界函数也可能积分.
高数里的定积分和黎曼积分是不是一个意思?
黎曼积分表示的是函数与坐标轴包围的面积,如果函数无界,黎曼积分不可积,这是不是表示函数与坐标轴包围的面积不能计算或者面积无穷大?
广义积分里函数无界也可能积分,那么这个积分结果是函数与坐标轴包围的面积吗?也就是说当函数无界时,函数与坐标轴包围的面积有可能是可以计算的,并且面积的大小可通过广义积分计算?
对上面的总结,黎曼积分的定义是这样的：函数与坐标轴包围的面积采用分割的办法分割,如果分割的极限存在（也可能就是面积可计算?）那么就可黎曼积分.
那么既然函数无界也可能够计算面积,那么这个计算结果也应该是黎曼积分里的那个极限,既然极限存在,为什么么会有一个函数必须有界的这个条件呢?,书上那个推导是说无界点领域内f(x)*y(y为分割大小）中由于f(x)无穷大所以f(x)*y为无穷大,这不就变向表示无界函数的面积一定无穷大嘛,这个推导好像理由不充分呀f(x)无穷大,y可以无穷小呀?
是不是无界就是一个人为规定的条件,实际上这个条件并不是必要条件
就是说函数有界只是黎曼可积的研究范围（也就是说黎曼积分只研究有界函数）而不是黎曼可积的必要条件

提问时间：2021-02-22

答案

1、是；
2、3、黎曼积分有两个条件：被积函数有界和积分区间有限,且被积函数可积与黎曼和收敛是等价的,黎曼和收敛时黎曼积分等于某个实数,当上述两个条件不满足时就叫做广义积分,一般分为无界函数积分与无穷限积分（也有既函数无界又积分限无穷的）,它们都不是正常积分（黎曼积分）,广义积分是可能收敛也可能发散的,它们的几何解释就是：当一个广义积分收敛时这个广义积分等于某个实数,它的几何意义是该积分对应的一个伸向无穷远的不封口的几何图形的面积就等于这个实数的绝对值；
4、黎曼积分是对黎曼和取极限,且是对于任意分割,对于任意的界点集的选取,只要让读作“纳姆达”的希腊字母（即所有小△的直径中的最大者,这个字母打不上去）趋于零,就有黎曼和无限地接近某个实数,这时才称该函数（黎曼）可积,广义积分都是先将积分区间缩小一点使变成正常（黎曼）积分,（这时它是不存在收敛与发散的问题的,它等于这个积分限的函数）,再对那个积分限取普通的极限,使积分区间趋于原来的积分区间,如果这个极限存在就说这个广义积分收敛,否则就说其发散；
但愿这样说你懂了.𝝀𝝀