题目

已知椭圆G:x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为e=(根号3)/2,短半轴长为1,过点（m,0)作圆x^2+y^2=1的切线l交椭圆G于AB两点.
(1)求椭圆G的标准方程.
(2)将（绝对值AB）表示为m的函数,并求（绝对值AB）的最大值.

提问时间：2021-02-22

答案

（1）b=1
因为a^2=b^2+c^2,c/a=e=(根号3)/2
c=(根号3)/2xa
1+3/4a^2=a^2
a^2=4 c^2=3
所以x^2/4+y^2=1
（2）设y=k(x-m)
因为l与园相切
d=1=lkml/(根号下k^2+1)
k^2=i/m^2-1
l交椭圆G于AB两点
y=k(x-m) 与x^2/4+y^2=1联立
消Y带入得二次方程
（1+4k^2）/4x^2=2mk^2x+m^2k^2-1=0
lx1-x2l^2=(b^2-4ac)/a^2用K表示再用m表示k
同理得ly1-y2l^2= （用m表示）
lABl^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2= (m表示)
通过求导求lABl^2最大值
然后开根号即为绝对值AB）的最大值.