题目

一道多元函数微积分题目
求方程x^2 + y^2 + z^2 -2x-4y-6z-2=0所确定的函数z=f(x,y)的极值.
原式里面的Z该怎么处理呢？

提问时间：2021-02-21

答案

x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z - 2=0
分别对上面等式两边求偏导数∂z/∂x和∂z/∂y.
对x求偏导得：
2x + y^2 + 2z·∂z/∂x - 2 - 4y - 6·∂z/∂x=0
整理：∂z/∂x = (2x + y^2 - 4y - 2)/(6 - 2z)；
对y求偏导得：
x^2 + 2y + 2z·∂z/∂y - 2x - 4 - 6·∂z/∂y=0
整理：∂z/∂y = (x^2 - 2x + 2y - 4)/(6 - 2z).
令：
∂z/∂x=0
∂z/∂y=0
再和原方程联立方程组：
(2x + y^2 - 4y - 2)/(6 - 2z)=0；
(x^2 - 2x + 2y - 4)/(6 - 2z)=0；
x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z - 2=0.
解方程组：
太麻烦了,你自己解吧,解出来x和y,判断驻点,求出极值.
过程中把z看作函数,求导时除了按正常规则求导外,还得进行求一次z对x或y的导数.如：
z^3 中对x求偏导：
3z^2(这是常规求导),还得求一次z对x的导数∂z/∂x,
所以最后结果是：3z^2·∂z/∂x