题目

已知向量a=（cosx,sinx）,b=(-siny,cosy),且x属于[π/4,π/2]
1:若y=3x,求丨a+b丨
2：若y=3x,且不等式a*b-根号2*丨a+b丨*K大于等于-3/2恒成立,求实数K的取值范围

提问时间：2021-02-21

答案

1）向量a+b=(cosx-siny,sinx+cosy)=(cosx-sin3x,sinx+cos3x)
|a+b|²=(cosx-sin3x)²+(sinx+cos3x)²
=cos²x-2cosxsin3x+sin²3x+sin²x+2sinxcos3x+cos²3x
=2-2(cosxsin3x-sinxcos3x)
=2-2sin2x
=2(sin²x+cos²x-2sinxcosx)
=2(sinx-cosx)²
因为x∈[π/4,π/2]
所以sinx>cosx
则|a+b|=√2(sinx-cosx)
2）向量ab=-cosxsin3x+sinxcos3x=-sin2x
ab-√2|a+b|k≥-3/2
即-sin2x-2k(sinx-cosx)≥-3/2
-sin2x-2k√(1-sin2x)≥-3/2
1-sin2x-2k√(1-sin2x)+1/2≥0
设√(1-sin2x)=t,则0≤t≤1
t²-2kt+1/2≥0
即k≤(t²+1/2)/2t要恒成立,那么k要小于(t²+1/2)/2t的最小值
又(t²+1/2)/2t=1/2(t+1/2t)≥√2/2
∴k≤√2/2