题目
已知△ABC的三边长都是有理数.
(1)求证cosA是有理数;
(2)求证:对任意正整数n,cosnA是有理数.
(1)求证cosA是有理数;
(2)求证:对任意正整数n,cosnA是有理数.
提问时间:2021-02-21
答案
(1)证明:设三边长分别为a,b,c,cosA=
,
∵a,b,c是有理数,b2+c2-a2是有理数,分母2bc为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性,
∴
必为有理数,
∴cosA是有理数.
(2)①当n=1时,显然cosA是有理数;
当n=2时,∵cos2A=2cos2A-1,因为cosA是有理数,∴cos2A也是有理数;
②假设当n=k(k≥2)时,结论成立,即coskA、cos(k-1)A均是有理数.
当n=k+1时,cos(k+1)A=coskAcosA-sinkAsinA,cos(k+1)A=coskAcosA-
[cos(kA-A)-cos(kA+A)],cos(k+1)A=coskAcosA-
cos(k-1)A+
cos(k+1)A,
解得:cos(k+1)A=2coskAcosA-cos(k-1)A
∵cosA,coskA,cos(k-1)A均是有理数,∴2coskAcosA-cos(k-1)A是有理数,
∴cosA,coskA,cos(k-1)A均是有理数.
即当n=k+1时,结论成立.
综上所述,对于任意正整数n,cosnA是有理数.
b2+c2-a2 |
2bc |
∵a,b,c是有理数,b2+c2-a2是有理数,分母2bc为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性,
∴
b2+c2-a2 |
2bc |
∴cosA是有理数.
(2)①当n=1时,显然cosA是有理数;
当n=2时,∵cos2A=2cos2A-1,因为cosA是有理数,∴cos2A也是有理数;
②假设当n=k(k≥2)时,结论成立,即coskA、cos(k-1)A均是有理数.
当n=k+1时,cos(k+1)A=coskAcosA-sinkAsinA,cos(k+1)A=coskAcosA-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
解得:cos(k+1)A=2coskAcosA-cos(k-1)A
∵cosA,coskA,cos(k-1)A均是有理数,∴2coskAcosA-cos(k-1)A是有理数,
∴cosA,coskA,cos(k-1)A均是有理数.
即当n=k+1时,结论成立.
综上所述,对于任意正整数n,cosnA是有理数.
举一反三
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