题目

球坐标系的基向量和直角坐标系的向量转化
就是r,phi,theta向量和x,y,z向量的转化公式是什么
还有r,phi,theta向量之间什么关系
我做题目总是动不动看到phi向量或者theta向量.根本不知道怎么出来的
比方,w向量＝w乘以z向量.w向量叉乘r向量＝wr（sin theta）乘以phi向量.怎么得到的

提问时间：2021-02-21

答案

首先要搞清楚r,phi,theta是什么.
r很清楚,就是向量的本身的长度,也就是,r = 根号(x^2 + y^2 + z^2),r的方向是 radial direction,就是本身那个向量的方向.
phi和theta是两个角度.物理书中,一般习惯是,
theta是向量和z轴的夹角.phi是向量在xy平面上的投影和x轴的夹角.（你可以根据我的描绘自己画张图,比较好看出来.）
那么,很明显,z = r * cos(theta)
xy 平面上那个投影的长度 = r * sin(theta)
所以,x = r * sin(theta) * cos(phi)
y = r * sin(theta) * sin(phi).
theta和phi也是有方向的.他们的方向不是那么重要.是逆时针走的话是他们增加的方向（正方向）.
你的那个例子,
w向量＝w乘以z向量,是说,w在直角坐标系中,是指向z轴正方向的一个向量.
r是任意一个向量.
所以,
w向量叉乘r向量＝ w向量长度 * r向量长度 * w、r的夹角（很明显就是theta,画图看出) * 一个方向向量.
这个方向向量用右手定则判定,右手从w 握向r,拇指方向.
仔细想想,这个方向就是phi的方向.
我也可以简单说下原因,基本上一个3维的右手坐标系,比如xyz直角坐标系,两个坐标系方向叉乘会得到第三个方向.x 叉 y = z方向,y 叉 z = x方向,z 叉 x = y 方向.
在球坐标系也是一样的,theta方向,phi方向和r方向.
w和r 的夹角就是theta,所以你可以看作,w的方向和theta的方向有关系.所以w 叉 r 的方向是phi的方向.（但做题的时候这个方向是谁的方向不那么重要,你会用右手定则判定就可以了）