题目

关于复变函数中的解析函数（高手进来帮下忙）
求：f(z)=x²-iy 何处可导?（不用C-R方程求解）
另外,具体说一下：在某点上连续、解析、可导各有什么区别?

提问时间：2021-02-21

答案

根据导数的定义:
f'(z)=lim(△z→0)（f（z+△z）-f（z））/（△z）=lim(△z→0）((x+△x)²-(y+△y)i-x²+yi)/(△x+△yi)=lim(△z→0)(△x²+2x△x-△yi)/(△x+△yi)
当x=-1/2时,原式=lim(△z→0)(△x²-△x-△yi)/(△x+△yi)
将△z=△x+△yi,因此△x=(△z+△z*)/2,带入原式得：
f'(z)=-1
当x≠-1/2时,若z+△z沿着平行于x轴的直线趋向于z,则△y=0,因此原式=2x,不是定值,因此极限不存在.
因此函数f(z)=x²-iy在直线x=-1/2上可导,在复平面内处处不解析.
用这种方法可以直接判断出可导点的导数值,但是判断起来要比利用C—R方程要复杂得多.
对于复变函数在某点连续、解析、可导的关系如下：
f(z)在z0解析→f(z)在z0连续
↓
f(z)在z0可导→f(z)在z0连续
所有箭头方向都不可逆
而若是在区域D内则
f(z)在D内解析→f(z)在z0解析 （z0在D内）
↑↓
f(z)在D得可导→f(z)在z0可导