题目

第一题：B地在A地的正东方向4km处,C地在B地的北偏东30度方向2km处,河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建码头,向B,C两地转运货物.经测算,从M到B 、C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km,那么修建两条公路总费用最低是?
第二题：已知椭圆x2/16+y2/9=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,则点P到x轴的距离为?

提问时间：2021-02-20

答案

（1）以AB为X轴,AB的中垂线为Y轴,建立平面直角坐标系.
∵|MA|-|MB|=2,∴点M在以A,B为焦点的双曲线上,且
c=2,a=1,b=,曲线PQ的方程为（x≥1）
点C（3,） 焦点B对应的准线l：x =
由双曲线第二定义 (其中d为动点M到准线的距离)
∴d = |MB|,
∴2a|MC|+a|MB|=2a（|MC|+d）≥2a（3－）=5a(万元).
当直线AM垂直于准线l时等号成立,此时yM=,xM=.
即当M坐标为(,)时,修建两条公路总费用最低,最低值为5a万元