题目

若不等式组

x≥0 y≥0 y≤−kx+4k

表示的区域面积为S，则
（1）当S=2时，k=______；
（2）当k＞1时，

kS

k−1

的最小值为______．

提问时间：2021-02-19

答案

（1）∵直线l：y=-kx+4k=-k（x-4）∴直线l经过点A（4，0），令x=0，得y=4k，直线l交y轴于点B（0，4k）因此，不等式组x≥0y≥0y≤−kx+4k表示的区域是图中△AOB，其面积为S=12×|OA|×|OB|=8k=2，解之得k=14； &...

（1）根据题意，可得直线l：y=-kx+4k与x、y的正半轴分别交于点A（4，0），B（0，4k），进而得到不等式表示的平面区域是图中△AOB，结合题意建立关于k的方程并解之，即可得到实数k的值；
（2）结合（1）的计算，可得

kS

k−1

=

8k2

k−1

，其中k＞1．然后利用配凑的方法，结合基本不等式求最值，得当且仅当k=2时，

kS

k−1

的最小值为32．

本题考点：简单线性规划．

考点点评：本题给出二元一次不等式组表示的平面区域，求与区域面积有关的一个最小值，着重考查了简单线性规划及其应用和二元一次不等式的处理等知识，属于基础题．