题目

设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a²]满足方程log_ax+log_ay=c，这时，a的取值的集合为______．

提问时间：2021-02-19

答案

由方程log_ax+log_ay=c，可得xy=a^c（x，y＞0）．
∵a＞1，
∵函数y=

ac

x

在x∈[a，2a]上单调递减，
∴

a＝ ac 2a a2＝ ac a

，化为2a²=a³，a＞1解得a=2．
∴a的取值的集合为{2}．
故答案为：{2}．

由方程log_ax+log_ay=c，可得xy=a^c（x，y＞0）．已知2a＞a＞0，a²-a＞0，解得a＞1．利用函数y=

ac

x

在x∈[a，2a]上单调递减，可得

a＝ ac 2a a2＝ ac a

，解出即可．

本题考点：对数的运算性质．

考点点评：本题考查了对数的运算性质、函数的单调性，属于基础题．