题目

同步卫星速度为什么不能等于宇宙第一速度?
如果同步卫星速度小于第一宇宙速度，那个卫星岂不是做近心运动？

提问时间：2021-02-19

答案

宇宙速度是指视作质点的无动力航天器脱离天体表面的的最小发射速度（不考虑天体自转对航天器的速度加成；更确切地说,发射速度是指航天器脱离运载工具后的速度,但简化起见,视作从表面发射的初速度）,而不是在轨运行速度.
一般而言,第一宇宙速度是脱离天体表面进入近表面圆环绕轨道的最小速度.对于近球形天体,这个发射速度大小近似和在轨运行速度的相等,因为近表面圆轨道上航天器受到的向心力等于它受到的引力（忽略其它天体的作用）：mv1²/r=GMm/r²,这里轨道高度r和天体半径R相等,于是v1=√GM/R.地球的v1约7.91km/s.
第二宇宙速度是航天器靠自身初动能脱离天体表面至无穷远处（只是理想情况；实际是到该天体引力影响可以忽略不计处）需要的最小速度.可以通过解万有引力势能关系得到：U(r)=-GMm/r,无穷远处（r→+∞）为0.于是航天器脱离表面到无穷远处至少克服引力做功W=0-U(R)=GMm/R²=0.5mv2²,解得v2=√(2GM/R).（也可以不用势能公式,利用功能原理直接积分得到.）（LS的和g关联的计算方法不正确.） 对于地球,v2≈11.2km/s.
第三宇宙速度要看天体决定.对于行星,一般指脱离行星系的最小发射速度.例如,地球的第三宇宙速度是指航天器飞离太阳系,由地面发射时的最小速度.LS做法是错的,用太阳的参数代入,解得v'≈42km/s,还需要考虑地球公转线速度v地≈30km/s,v3=√(v'²-v地²)≈16.7km/s.
航天器的发射速度和在轨运行速度的大小区别,原因是航天器脱离天体时,克服引力做功,引力势能增大,动能减少,于是速度变小.只有轨道距离天体表面很近时,轨道半径和球形天体半径相等,才可以忽略其中的区别,这种情况下在轨运行速度看作等于发射速度——第一宇宙速度.
现在回到同步卫星的问题上来.地球同步卫星是地球向同步轨道（在轨运行角速度等于地球自转角速度,轨道半径r≈35793km）发射的卫星.显然与地球平均半径R≈6378km相比,r-R不能忽略,于是动能损失0.5m(r²-R²)不能忽略,因此在轨运行速度远比第一宇宙速度小得多,大概只有3km/s多点.当然,同步卫星的发射速度比这个速度要大.
其实造成LZ认识误区的关键在于LZ忽略了引力势能的作用（= =才发现,害我废话了半天,手都软了...）.