题目

设在上半平面D={（x,y)|y＞0}内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意的 t＞0都有f(tx,ty)=t^(-2) f(x,y).证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有∮yf(x,y)dx - xf(x,y)dy=0.(积分区域为L)

提问时间：2021-02-19

答案

由于封闭,函数f(x,y)具有连续偏导数,满足格林公式
∮yf(x,y)dx - xf(x,y)dy=
=二重积分[-2f(x,y)-fx(x,y)-fy(x,y)],积分区域为D .（1）
而前者路积分为0的充要条件就是积分与路径无关
也就是yf(x,y)dx - xf(x,y)dy是某函数的全微分
那么满不满足yf(x,y)dx - xf(x,y)dy是某函数的全微分?
那么就要看条件了,条件有对任意的 t＞0都有f(tx,ty)=t^(-2) f(x,y).
对t取特殊值也成立,分别取t为x,y
有f（x,y）=x^2f(x^2,xy)=y^2f(xy,y^2)
yf(x,y)dx - xf(x,y)dy=