题目

一个圆的圆心在双曲线X^2-3y^2=12的右焦点上,并且该圆过原点 求这个圆和双曲线的公共点的坐标

提问时间：2021-02-19

答案

改写双曲线方程为：x^2/12－y^2/4＝1,∴c＝√（12＋4）＝4,
∴双曲线的右焦点F坐标是（4,0）,∴圆的半径＝｜FO｜＝4,
∴圆的方程为：（x－4）^2＋y^2＝16,∴y^2＝16－（x－4）^2,
代入给定的双曲线方程中,得：
x^2－3［16－（x－4）^2］＝16,　∴x^2－3（16－x^2＋8x－16）＝16,
∴x^2＋3x^2－24x＝16,∴4x^2－24x－16＝0,∴x^2－6x－4＝0
∴x＝［6＋√（36＋12）］/2＝（6＋4√3）/2＝3＋2√3,　或x＝3－2√3.
由x＝3＋2√3,得：
y^2＝16－（3＋2√3－4）^2＝16－12＋4√3－1＝3＋4√3,
∴y＝±√（3＋4√3）.
由x＝3－2√3,得：
y^2＝16－（3－2√3－4）^2＝16－12－4√3－1＝3－4√3＜0,显然是不合理的,应舍去.
∴满足条件的圆和给定的双曲线的公共点有两个,它们的坐标分别是：
（3＋2√3,√（3＋4√3）、（3＋2√3,－√（3＋4√3）.