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题目
过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A、B两点,求弦AB的中点M的轨迹方程.

提问时间:2021-02-19

答案
设圆x2+y2-6x+5=0的圆心为C,则C的坐标是(3,0),由题意,CM⊥AB,
①当直线CM与AB的斜率都存在时,即x≠3,x≠0时,则有kCMkAB=-1,
y
x−3
×
y
x
=−1
(x≠3,x≠0),
化简得x2+y2-3x=0(x≠3,x≠0),
②当x=3时,y=0,点(3,0)适合题意,
③当x=0时,y=0,点(0,0)不适合题意,
解方程组
x2+y2−3x=0
x2+y2−6x+5=0
x=
5
3
,y=±
2
3
5

∴点M的轨迹方程是x2+y2-3x=0(
5
3
<x≤3
).
根据圆的特殊性,设圆心为C,则有CM⊥AB,当斜率存在时,kCMkAB=-1,斜率不存在时加以验证.

轨迹方程.

本题主要考查轨迹方程的求解,应注意利用圆的特殊性,同时注意所求轨迹的纯粹性,避免增解.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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