题目

已知P（x，y）是函数y=e^x+x图象上的点，则点P到直线2x-y-3=0的最小距离为（　　）
A.

5

5

B.

2 5

5

C.

3 5

5

D.

4 5

5

提问时间：2021-02-19

答案

因为2x-y-3=0的斜率为2，所以令y′=e^x+1=2解得x=0，代入函数y=e^x+x得y=1，
所以切点（0，1）到直线2x-y-3=0的距离为

|0−1−3|

5

=

4 5

5

即点P到直线2x-y-3=0的最小距离为

4 5

5

．
故选D

将直线2x-y-3=0平移到与函数y=e^x+x的图象相切时，切点到直线2x-y-3=0的距离最短，故关键是求出切点的坐标．由于切线与2x-y-3=0平行，所以令y′=2得到切点坐标横坐标，代入函数解析式得到纵坐标，然后利用两点间的距离公式求出切点到直线的距离即为点P到直线的最小距离．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：考查学生理解函数图象上和直线平行时切线的切点到直线的距离最短，会根据平行斜率相等求函数的切点，会利用点到直线的距离公式解决实际问题．