题目

等比数列的前三项和为168,第二项与第五项之差为42,求第五项与第七项的等比中项?
由a2-a5=42知a1q(1-q^3)=42
前三项和为168知a1(1+q+q^2)=168
两式相除,整理得1+q+q^2=4q-4q^4
4q^4+q^2-3q+1=0
这个式子怎么求出q?
我看其他答案上说可以分解成（2q-1）^2(q^2+q+1)=0.
但我不知道是怎么分解出来的?

提问时间：2021-02-18

答案

由a[2]-a[5]=42,知：a[1]q(1-q^3)=42 【1】
前三项和为168,知：a[1](1+q+q^2)=168 【2】
如果两式相除的话,应该得到：q(1-q)=1/4
整理得到的是：(2q-1)^2=0
但是这样处理,有人考虑可能会失根.
于是,【1】*4,得：4a[1]q(1-q^3)=168
∴4a[1]q(1-q^3)=a[1](1+q+q^2)
∵等比数列的前三项和为168
∴a[1]≠0
∴4q(1-q)(1+q+q^2)=(1+q+q^2)
(1+q+q^2)(4q^2-4q+1)=0
即：(2q-1)^2(q^2+q+1)=0
其实,q^2+q+1=(q+1/2)^2+3/4恒大于零,两式相除时约掉,
或者说：q^2+q+1=0的Δ=1-4=-3