题目

某行星表面没有气体，在它的表面附近作匀速圆周运动的卫星的环绕周期为T，如果宇航员在这个行星地面上以v的初速度竖直向上抛出一石块，石块向上运动的最大高度为h．已知万有引力恒量为G，求该行星的质量有多大．

提问时间：2021-02-18

答案

设行星半径为r，根据题意，它的卫星的轨道半径也为r，设该行星表面的重力加速度为g、质量为M，卫星的质量为m，石块质量为m₁
根据机械能守恒定律  

1

2

m₁v²=m₁gh　　
得　g＝

v2

2h

卫星的向心力F=mω²r=m

4π2

T2

r
向心力等于重力m

4π2

T2

r＝mg　　
故　r＝

gT2

4π2

也就是r＝

v2T2

8hπ2

根据万有引力定律F＝G

Mm

r2

＝m

4π2

T2

r
由以上各式得　M＝

v6T2

128Gπ4h3

答：该行星的质量为

v6T2

128Gπ4h3

．