题目

若关于x的方程x²-（a-1）x+b-1=0的两实根为x₁，x₂，且x₁²+x₂²=1
（1）求出a与b之间的函数关系b=f（a）及定义域；
（2）作出b=f（a）的简图，并求出函数b=f（a）的最大值与最小值．

提问时间：2021-02-18

答案

（1）依题意：△=（a-1）²-4（b-1）≥0⇒a²-2a-4b+5≥0   ①
x₁²+x₂²=1⇒（a-1）²-2（b-1）=1⇒b=

1

2

（a-1）²+

1

2

   ②
把②代入①得a2-2a-1≤0⇒1-

2

≤a≤1+

2

∴b=

1

2

（a-1）²+

1

2

，a∈[1-

2

，1+

2

]
（2） 由（1）得b=

1

2

（a-1）²+

1

2

，a∈[1-

2

，1+

2

]
∴当a=1时，bmin=

1

2

；
当a=1±

2

时，bmax=

3

2

．

（1）b=f（a）的解析式可以利用x₁²+x₂²=1的恒等变形与二次方程根与系数的关系结合求出，其定义域要满足方程x²-（a-1）x+b-1=0有两实根，即判别式大于等于0．
（2）由（1）知b=f（a）是一个二次函数，故依据二次函数的性质求最大值与最小值即可

本题考点：二次函数的性质；函数的表示方法；函数的最值及其几何意义；二次函数的图象．

考点点评：本题考点是二次函数的性质，考查利用根与系数的关系求解析式以及利用二次函数的性质求最值，本题第一小题对恒等变形的技巧要求较高，做题时应细心体会．