题目

如图，PQ=10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的⊙O内切于点P，与正方形ABCD切于点Q，其中A、B两点在⊙O上．若AB=m+

n

，其中m、n是整数，求m+n的值．

提问时间：2021-02-18

答案

连接OA，∵两圆内切，∴P、Q、O共线，设过P、Q、O的直线交AB于R，AB=x，则OQ=OP-PQ=10，RO=RQ-OQ=x-10，（2分）∵CD与小圆切于点Q，∴QR⊥CD，QR⊥AB，∴根据垂径定理知AR=12AB=12x，（4分）∴在Rt△OAR中，OA2=OR2+...

连接OA，根据两圆内切可得出P、Q、O共线，设过P、Q、O的直线交AB于R，AB=x，根据图示数量关系得到RO=RQ-OQ=x-10，利用垂径定理和勾股定理求出x的值，进而求出m、n的值．

本题考点：相切两圆的性质；勾股定理；垂径定理．

考点点评：此题不仅考查了相切两圆的性质，还涉及勾股定理和垂径定理，从图中得到RO=RQ-OQ是解题的关键，要善于观察图形的特点．