题目

设f[x]=x的平方+px+q,A={x|x=f[x]},B={x|f[fx]}=x
1.求证A包含于B
2.如果A={-1,3},求B

提问时间：2021-02-18

答案

1.若x在A中,即f(x)=x
则f(f(x))=f(x)=x
即x在B中,故A包含于B
2.f(x)-x=x^2+(p-1)x+q有两个根-1,3
则p-1=-(-1+3)=-2,q=-1*3=-3
f(x)=x^2-x-3
f(f(x))=(x^2-x-3)^2-(x^2-x-3)-3
=x^4-2x^3-6x^2+7x+9
f(f(x))-x=x^4-2x^3-6x^2+6x+9
=(x+1)(x-3)(x^2-3)
至于f(f(x))-x的分解可直接用综合法,
或根据x+1,x-3是其因子,除以(x+1)(x-3)得x^2-3
则B={-1,3,3^(1/2),-3^(1/2)}