题目

1.已知关于x的方程x^2-2(m+1)x+m^2-2m-3=0的两个不相等的实数根中有一根为0,是否存在非正整数k,使得关于x的方程kx^2-(2k-m)x+k-m^2+5m-10=0有整数根?若存在,求k的值,若不存在,请说明理由
2.已知：在正方形ABCD中,AB＝1,
点E是AD边上的一点（不与点A、D重合）,BE的
垂直平分线GF交BC的延长线于点F．
（1）求证：＝ ；
（2）若AE＝a,连结点E、F,交CD于点P,连
结点G、P,当a为何值时,GP‖BF?

提问时间：2021-02-18

答案

第一题
因为有不相等实数根,所以 b^2 - 4ac > 0
4(m+1)^2 - 4(m^2-2m-3) > 0
4m^2 + 8m + 4 - 4m^2 + 8m + 12 > 0
16m + 16 > 0
m > -1
因为有一根为0,代入 x=0,
m^2 -2m - 3 = 0
(m-3)(m+1) = 0
m=3 或 m=-1（舍弃,因为m>-1）
所以m=3
代入第二个方程,
kx^2-(2k-3)x+k-3^2+5*3-10 = 0
kx^2 - (2k-3)x + (k-4) = 0
b^2-4ac
= (2k-3)^2 - 4k(k-4)
= 4k^2 - 12k + 9 - 4k^2 + 16k
= 4k+9 >0
k>-9/4
因为k是非正整数,所以k=-2,-1,0
当k=-2,代入方程
-2x^2+7x-6=0
2x^2-7x+6=0
2x-3)(x-2)=0
有整数根x=2!
当k=-1,b^2-4ac= 4k+9 = 5不是平方数,所以没有整数根
当k=0,代入方程,3x-4=0,x=4/3,没有整数根
综上,k=-2
第二题
（1）
∠ABE+∠AEB=900
∠ABE+∠GBF=900
∠GFB+∠GBF=900
所以∠GBF=∠AEB,∠GFB=∠ABE
所以△GFB∽△ABE (AA)
所以AE/BG=BE/FB
（2）
若GP‖BF,因为EG=GB,则DP=CP,EP=FP
又因为∠EPD=∠CPF,所以△EPD≡△CPF (SAS)
所以ED=CF
由（1）,AE*BF=BG*BE=(1/2)BE^2
所以BF=[(1/2)BE^2]/AE=(1/2)(1+a^2)/a=(1+a^2)/(2a)
所以CF=BF-BC=[(1+a^2)/(2a)] - 1
ED=AD-AE=1-a
因为ED=CF
所以 1-a = [(1+a^2)/(2a)] - 1
化简,3a^2-4a+1=0
(3a-1)(a-1)=0
a=1/3 或 a=1（舍弃,因为E不与D重合）
综上,a=1/3