题目

半径为R的球内接一个各棱长都相等的四棱锥.求该四棱锥的体积

提问时间：2021-02-18

答案

设棱长为a,球内接四棱锥是正四面体S-ABC,三角形ABC正三角形,
作SH⊥平面ABC,交于平面ABC于H,则H是三角形ABC外心（内心,重心、垂心）,
连结AH并延长交AB于D,则AD=a√3/2,AH=AD*2/3=a√3/3,根据勾股定理,
SH=√（SA^2-AH^2)=a√6/3,
在三角形SAH中,M是AB的中点,作棱SA的垂直平分线MO,交SH于O,则O就是球心,
△SMO∽△SHA,
SM*SA=SO*SH,
a*a/2=R*a√6/3,
a=2R√6/3,
SH=(√6/3)*2R√6/3=4R/3,
S△ABC=（√3/4）*a^2=(√3/4)(2R√6/3)^2=R^2√3/3
VS-ABC=S△ABC*SH/3=(R^2√3/3)*4R/3/3=4√3R^3/27.
四棱锥的体积为4√3R^3/27.