题目

已知抛物线y^2=2x及定点A(1,1),B(-1,0),M是抛物线上的点,设直线AM,BM与抛物线的另一交点分别为M1,M2.求证:当点M在抛物线上变动时(只要M1,M2存在且M1与M2是不同两点),直线M1M2恒过一定点,并求出定点的坐标

提问时间：2021-02-18

答案

设m为(2a^2,2a)
过点a,m的直线方程
(y-2a)/(x-2a^2)=(y-1)/(x-1)
(1-2a^2)y+(2a-1)x+2a^2-2a=0
y^2=2x
联解
y^2=2[(2a^2-2a)+(1-2a^2)y]/(2a-1)
所以(2a-1)y^2+(1-2a^2)y+2(2a^2-2a)=0
y1+y2=-(2a^2-2a)/(2a-1)
所以,另外一点的y值为 2(2a^2-2a)/(2a-1)-2a=2a/(1-2a)
那么另外一点为[2(a/1-2a)^2,2a/(1-2a)]
过点b,m的直线方程
(y-2a)/(x-2a^2)=y/(x+1)
(1+2a^2)y-2ax-2a=0
y^2=2x
联解
得到 ay^2-(1+2a^2)y+2a=0
y1+y2=2 另一点坐标的y为为 2-2a
这点坐标为[2(1-a)^2,2(1-a)]
这两点构成的直线为：[y-2a/(1-2a)]/[x-2(a/1-2a)^2]=[y-2(1-a)]/[x-2(1-a)^2]
汗..往下算了一下,麻烦,不算了.