题目

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点F作一条渐线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若

FB

=2

FA

，则此双曲线的离心率为（　　）
A.

2

B.

3

C. 2
D.

5

提问时间：2021-02-17

答案

如图因为

FB

=2

FA

，所以A为线段FB的中点，
∴∠2=∠4，又∠1=∠3，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．
故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒

b

a

=

3

．
∴e2=1+(

b

a

)2=4⇒e=2．
故选：C．

先由

FB

＝2

FA

，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．