题目

（选修4-5：不等式选讲）已知a＞b＞c＞0，求证：a+

3

3 (a−b)(b−c)c

≥6（并指出等号成立的条件）

提问时间：2021-02-17

答案

证明：∵a＞b＞c＞0，要证a+

3

3 (a−b)(b−c)c

≥6，
只要证 （a-b）+（b-c）+c+

1

3 (a−b)(b−c)c

+

1

3 (a−b)(b−c)c

+

1

3 (a−b)(b−c)c

≥6  ①．
由于不等式的左边这6项全部都是正实数，且这6项的积等于定值1，故这6个正数的几何平均数等于1，
由6个正数的算术平均数大于或等于这6个正数的几何平均数可得

(a−b) +(b−c) +c + 1 3 (a−b)(b−c)c  + 1 3 (a−b)(b−c)c + 1 3 (a−b)(b−c)c

6

≥1，
故①成立，故原不等式成立．

由题意可得，要证原不等式成立，只要证（a-b）+（b-c）+c+

1

3 (a−b)(b−c)c

+

1

3 (a−b)(b−c)c

+

1

3 (a−b)(b−c)c

≥6 ①，根据6个正数的算术平均数大于或等于这6个正数的几何平均数可得①成立，从而原不等式成立．

本题考点：综合法与分析法(选修）．

考点点评：本题主要考查用分析法证明不等式，把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止，利用了6个正数的算术平均数大于或等于这6个正数的几何平均数．