题目
若直角坐标平面内A、B两点满足条件:①点A、B都在f(x)的图象上;②点A、B关于原点对称,则对称点对(A,B)是函数的一个“姊妹点对”(点对(A,B)与(B,A)可看作同一个“姊妹点对”).已知函数 f(x)=
,则f(x)的“姊妹点对”有( )个.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
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A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
提问时间:2021-02-17
答案
设P(x,y) (x<0),则点P关于原点的对称点为P′(-x,-y),
于是
=−(x2+2x),化为2ex+x2+2x=0,
令φ(x)=2ex+x2+2x,下面证明方程φ(x)=0有两解.
由x2+2x≤0,解得-2≤x≤0,而
>0(x≥0),∴只要考虑x∈[-2,0]即可.
求导φ′(x)=2ex+2x+2,
令g(x)=2ex+2x+2,则g′(x)=2ex+2>0,
∴φ′(x)在区间[-2,0]上单调递增,
而φ′(-2)=2e-2-4+2<0,φ′(-1)=2e-1>0,
∴φ(x)在区间(-2,0)上只存在一个极值点x0.
而φ(-2)=2e-2>0,φ(-1)=2e-1-1<0,φ(0)=2>0,
∴函数φ(x)在区间(-2,-1),(-1,0)分别各有一个零点.
也就是说f(x)的“姊妹点对”有两个.
故选B.
于是
2 |
e−x |
令φ(x)=2ex+x2+2x,下面证明方程φ(x)=0有两解.
由x2+2x≤0,解得-2≤x≤0,而
2 |
ex |
求导φ′(x)=2ex+2x+2,
令g(x)=2ex+2x+2,则g′(x)=2ex+2>0,
∴φ′(x)在区间[-2,0]上单调递增,
而φ′(-2)=2e-2-4+2<0,φ′(-1)=2e-1>0,
∴φ(x)在区间(-2,0)上只存在一个极值点x0.
而φ(-2)=2e-2>0,φ(-1)=2e-1-1<0,φ(0)=2>0,
∴函数φ(x)在区间(-2,-1),(-1,0)分别各有一个零点.
也就是说f(x)的“姊妹点对”有两个.
故选B.
首先弄清关于原点对称的点的特点,进而把问题转化为求方程
=−(x2+2x)的根的个数,再转化为求函数φ(x)=2ex+x2+2x零点的个数即可.
2 |
e−x |
函数的值.
本题考查了函数的零点,善于转化及熟练利用导数判断方程的根的个数是解决问题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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