题目

问一道不定积分的题目
求2x/x^2+6x+12 dx的不定积分

提问时间：2021-02-16

答案

∫［2x/（x^2＋6x＋12）］dx
＝2∫｛x/［（x＋3）^2＋3］｝dx
＝2∫｛［（x＋3）－3］/［（x＋3）^2＋3］｝d（x＋3）
＝∫｛2（x＋3）/［（x＋3）^2＋3］｝d（x＋3）－6∫｛1/［（x＋3）^2＋3］｝d（x＋3）
＝∫｛1/［（x＋3）^2＋3］｝d［（x＋3）^2＋3］－6∫｛1/［（x＋3）^2＋3］｝d（x＋3）
＝ln［（x＋3）^2＋3］－6∫｛1/［（x＋3）^2＋3］｝d（x＋3）.
令x＋3＝√3t,则：t＝（x＋3）/√3,dx＝√3dt,
∴∫｛1/［（x＋3）^2＋3］｝d（x＋3）
＝（√3/3）∫［1/（t^2＋1）］dt＝（√3/3）arctant＋C＝（√3/3）arctan［（x＋3）/√3］＋C.
∴∫［2x/（x^2＋6x＋12）］dx＝ln［（x＋3）^2＋3］－2√3arctan［（x＋3）/√3］＋C.
注：若原题不是我所猜测的那样,则请补充说明.