题目

已知f（x）是R上的奇函数，且f（x）的图象关于x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的解析式；
（3）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）的值．

提问时间：2021-02-16

答案

（1）∵f（x）的图象关于x=1对称，
∴f（1+x）=f（1-x），
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），
即f（2+x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即f（x）是周期为4的周期函数；
（2）∵f（x）的图象关于x=1对称，
∴f（1+x）=f（1-x），即f（x）=f（2-x）
当x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1
∴f（x）=f（2-x）=2^2-x-1，x∈[1，2]．
（3）∵当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1
∴f（0）=0，f（1）=2-1=1，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（-1）=-f（1）=-1，f（4）=f（0）=0，
∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，
即f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）=503×0+f（2012）+f（2013）=f（0）+f（1）=1．