题目
一道基本的解析几何证明
过抛物线y2=2px上的两点A、B分别引抛物线的切线,其交点恰在抛物线的准线上,求证直线AB经过抛物线的焦点.
过抛物线y2=2px上的两点A、B分别引抛物线的切线,其交点恰在抛物线的准线上,求证直线AB经过抛物线的焦点.
提问时间:2021-02-16
答案
∵A、B都在抛物线y^2=2px上,
∴可设A、B的坐标分别为(m^2/(2p),m)、(n^2/(2p),n).
∴AB的斜率k=(m-n)/[m^2/(2p)-n^2/(2p)]=2p/(m+n).
对y^2=2px求导数,得:2yy′=2p,∴y′=p/y.
∴过A的切线斜率=p/m、过B的切线斜率=p/n.
∴过A的切线方程是:y-m=(p/m)[x-m^2/(2p)],
过B的切线方程是:y-n=(p/n)[x-n^2/(2p)].
联立:y-m=(p/m)[x-m^2/(2p)]、y-n=(p/n)[x-n^2/(2p)],消去y,得:
m-n=(p/n)[x-n^2/(2p)]-(p/m)[x-m^2/(2p)],
∴m-n=px(1/n-1/m)+(1/2)(m-n),
∴m-n=px(m-n)/(mn)+(1/2)(m-n),
∴1=px/(mn)+1/2,∴1/2=px/(mn),∴x=mn/(2p).
∵两切线的交点在抛物线的准线上,而抛物线的准线显然是x=-p/2,∴mn/(2p)=-p/2,
∴mn=-p^2.
很明显,抛物线的焦点F的坐标是(p/2,0).
∴AF的斜率k1
=(m-0)/[m^2/(2p)-p/2]=2mp/(m^2-p^2)=2mp/(m^2+mn)=2p/(m+n).
∵k=k1,∴点F在直线AB上,∴AB经过抛物线的焦点.
∴可设A、B的坐标分别为(m^2/(2p),m)、(n^2/(2p),n).
∴AB的斜率k=(m-n)/[m^2/(2p)-n^2/(2p)]=2p/(m+n).
对y^2=2px求导数,得:2yy′=2p,∴y′=p/y.
∴过A的切线斜率=p/m、过B的切线斜率=p/n.
∴过A的切线方程是:y-m=(p/m)[x-m^2/(2p)],
过B的切线方程是:y-n=(p/n)[x-n^2/(2p)].
联立:y-m=(p/m)[x-m^2/(2p)]、y-n=(p/n)[x-n^2/(2p)],消去y,得:
m-n=(p/n)[x-n^2/(2p)]-(p/m)[x-m^2/(2p)],
∴m-n=px(1/n-1/m)+(1/2)(m-n),
∴m-n=px(m-n)/(mn)+(1/2)(m-n),
∴1=px/(mn)+1/2,∴1/2=px/(mn),∴x=mn/(2p).
∵两切线的交点在抛物线的准线上,而抛物线的准线显然是x=-p/2,∴mn/(2p)=-p/2,
∴mn=-p^2.
很明显,抛物线的焦点F的坐标是(p/2,0).
∴AF的斜率k1
=(m-0)/[m^2/(2p)-p/2]=2mp/(m^2-p^2)=2mp/(m^2+mn)=2p/(m+n).
∵k=k1,∴点F在直线AB上,∴AB经过抛物线的焦点.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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