题目

已知函数f(x)满足：f（1）=1／4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) (x ,y∈R）,则f(2010)=?
已知函数f(x)满足：f（1）=1／4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) (x ,y∈R）,则f(2010)=?
解法：f（1）=1／4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) (x ,y∈R）,构造符合题意的函数f（x）＝1/2cos(派/3*x) 所以f(2010)=cos(派/3*2010)=1/2

提问时间：2021-02-15

答案

根据cosxcosy=1/2[cos(x+y)+cos(x-y)]
2cosxcosy=cos(x+y)+cos(x-y)
令f(x)=AcosBx
4f(x)f(y)=f(x+y)(x-y)=>4AcosxAcosy=A[cos(Bx+By)+cos(Bx-By)]
4Acosxcosy=cos(Bx+By)+cos(Bx-By)
4A=2
A=1/2
即f(x)=1/2cosBx
f(1)=1/2cosBx=1/4
所以B可以是π/3
所以可令f(x)=1/2cos(πx/3)