题目

在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f（n）可近似地用函数f（n）=100•（Acos（ωn+2）+k）来刻画．其中：正整数n表示月份且n∈[1，12]，例如n=1时表示1月份；A和k是正整数；ω＞0．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
①各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；
③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的f（n）的表达式；
（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．

提问时间：2021-02-15

答案

（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12．
由此可得，T＝

2π

ω

＝12⇒ω＝

π

6

；
由规律②可知，f（n）_max=f（8）=100A+100k，f（n）_min
=f（2）=-100A+100kf（8）-f（2）=200A=400⇒A=2；
又当n=2时，f(2)＝200•cos(

π

6

•2+2)+100k＝100，
所以，k≈2.99，由条件k是正整数，故取k=3．
综上可得，f(n)＝200cos(

π

6

n+2)+300符合条件．
（2）由条件，200cos(

π

6

n+2)+300＞400，
可得cos(

π

6

n+2)＞

1

2

⇒2kπ−

π

3

＜

π

6

n+2＜2kπ+

π

3

，k∈Z⇒

6

π

(2kπ−

π

3

−2)＜n＜

6

π

(2kπ+

π

3

−2)，
k∈Z⇒12k−2−

12

π

＜n＜12k+2−

12

π

，k∈Z．
因为n∈[1，12]，n∈N^*，所以当k=1时，6.18＜n＜10.18，
故n=7，8，9，10，即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”．