题目
计算∫∫ds/p 其中∑是椭球表面,p 为椭球中心到椭球表面的元素ds相切的平面之间的距离
提问时间:2021-02-15
答案
设出椭球面∑的方程:F(x,y,z)=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0,则椭球中心即坐标原点.
步①,求椭球面∑上点(x,y,z)处的切平面π的方程:
椭球面∑的方程:F(x,y,z)=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0
切平面π的法向量n={ F’x,F’y,F’z}={ 2x/a^2,2y/b^2,2z/c^2}
切平面π的方程:2x/a^2*(X- x)+2y/b^2*(Y-y)+2z/c^2*(Z-z)=0
整理得xX/a^2+yY/b^2+zZ/c^2-1=0
步②,求椭球中心即坐标原点到π的距离p:
利用点到平面的距离公式得到p=1/√(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)
步③,求曲面积分∫∫∑1/pdS中的dS:
积分曲面即椭球面∑的方程:F(x,y,z)=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0
亦即z=±c√(1-x^2/a^2-y^2/b^2)★
利用隐函数求导公式,z’x=(-F’x)/(F’z)=(-xc^2)/(za^2)
z’y=(-F’y)/(F’z)=(-yc^2)/(zb^2)
则可求出dS=√1+(z’x )^2+(z’y)^2)dxdy
=c^2/┃z┃*√(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4) dxdy▲
步④,求该曲面积分∫∫∑1/pdS:
先要把这个积分的积分曲面即椭球面分成上下两片
然后用计算公式把两片上的曲面积分化成两个二重积分
注意这两个二重积分的积分区域,即上下两片椭球面分别投影到xoy面的投影【是相同的椭圆域】
而这两个二重积分的被积函数是【相同的】,注意一下★▲中的符号便可知
最终求得该曲面积分=(1/a^2+1/b^2+1/c^2)4∏abc/3.
步①,求椭球面∑上点(x,y,z)处的切平面π的方程:
椭球面∑的方程:F(x,y,z)=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0
切平面π的法向量n={ F’x,F’y,F’z}={ 2x/a^2,2y/b^2,2z/c^2}
切平面π的方程:2x/a^2*(X- x)+2y/b^2*(Y-y)+2z/c^2*(Z-z)=0
整理得xX/a^2+yY/b^2+zZ/c^2-1=0
步②,求椭球中心即坐标原点到π的距离p:
利用点到平面的距离公式得到p=1/√(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)
步③,求曲面积分∫∫∑1/pdS中的dS:
积分曲面即椭球面∑的方程:F(x,y,z)=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0
亦即z=±c√(1-x^2/a^2-y^2/b^2)★
利用隐函数求导公式,z’x=(-F’x)/(F’z)=(-xc^2)/(za^2)
z’y=(-F’y)/(F’z)=(-yc^2)/(zb^2)
则可求出dS=√1+(z’x )^2+(z’y)^2)dxdy
=c^2/┃z┃*√(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4) dxdy▲
步④,求该曲面积分∫∫∑1/pdS:
先要把这个积分的积分曲面即椭球面分成上下两片
然后用计算公式把两片上的曲面积分化成两个二重积分
注意这两个二重积分的积分区域,即上下两片椭球面分别投影到xoy面的投影【是相同的椭圆域】
而这两个二重积分的被积函数是【相同的】,注意一下★▲中的符号便可知
最终求得该曲面积分=(1/a^2+1/b^2+1/c^2)4∏abc/3.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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