题目

在对角线有相同长度d的所有矩形中．
（1）怎样的矩形周长最长，求周长的最大值；
（2）怎样的矩形面积最大，求面积的最大值．

提问时间：2021-02-15

答案

（1）设矩形的两邻边长分别为x，y，
由题意可得x²+y²=d²，
∴矩形周长c=2（x+y），
∴c²=4（x+y）²=4（x²+y²+2xy）
≤4（x²+y²+x²+y²）=8d²，
当且仅当x=y，即矩形为正方形时，c²取到最大值8d²，
周长取到最大值2

2

d；
（2）由（1）矩形面积S=xy=

1

2

•2xy≤

1

2

（x²+y²）=

d2

2

当且仅当x=y，即矩形为正方形时，矩形面积的最大值

d2

2

．

（1）设矩形的两邻边长分别为x，y，易得x²+y²=d²，周长c=2（x+y），可得c²=4（x+y）²=4（x²+y²+2xy）≤4（x²+y²+x²+y²）=8d²，开方可得答案；
（2）由（1）矩形面积S=xy=

1

2

•2xy≤

1

2

（x²+y²）=

d2

2

，注意等号成立的条件即可．

本题考点：基本不等式．

考点点评：本题考查基本不等式求最值，涉及矩形的周长和面积，属基础题．