题目

已知函数y=f（x）的定义域为R,对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′）,且对任意x＞0,都有f（x）＜0,f（3）=-3．
试求函数y=f（x）在[m,n]（m、n∈Z,且mn＜0）上的值域．
由函数y=f（x）是R上的单调减函数,
∴y=f（x）在[m,n]上也为单调减函数．
∴y=f（x）在[m,n]上的最大值为f（m）,最小值为f（n）．
∴f（n）=f[1+（n-1）]=f（1）+f（n-1）=2f（1）+f（n-2）═nf（1）．
同理,f（m）=mf（1）．
∵f（3）=-3,∴f（3）=3f（1）=-3．
∴f（1）=-1．∴f（m）=-m,f（n）=-n．
因此,函数y=f（x）在[m,n]上的值域为[-n,-m]．
f（n）=f[1+（n-1）]=f（1）+f（n-1）=2f（1）+f（n-2）═nf（1）
2f（1）+f（n-2）═nf（1）
是怎么回事?

提问时间：2021-02-15

答案

f(n)=f(1+n-1)=f(1)+f(n-1) =f(1)+f(1)+f(n-2) =f(1)+f(1)+f(1)+f(n-3) =…… =f(1)+f(1)+f(1)+.+f(1) n个f(1)相加. ...