题目

有关三角函数平移的数学题,急..
若函数y=f（x）的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标伸长至原来的2倍,然后将图象沿x轴向左平移π/2个单位,沿y轴向下平移1个单位,得到曲线与y=(1/2)sinx图象相同,则f（x）是?
我觉得三角函数平移有两种方法,就是那个先伸缩后平移的弄不懂..比如说这个题,为什么不是倒回去先缩成y=（1/2)sin（2x＋φ）＋1,然后相位变换不是针对x来说的么,那么,括号里就可以化为2（x+φ）了,因为向左平移π/2个单位,所以φ=-π/2啊,那么化简出来就是y=（1/2)sin（2x-π）＋1了吧,可是答案上选的是y=（1/2)sin（2x-π/2）＋1,为什么啊.
我用的是先伸缩后平移的方法,所以大家请往这个方面考虑,别的方法我应该都会了,

提问时间：2021-02-14

答案

一个三角函数,要改变其形态,可通过平移或坐标单位的伸缩的方法进行,至于在改变过程中,步骤的先后,一般是不会影响其结果的,需要注意的有以下几点：
(1)在电子学中f(t)=Asin(ωt+φ),g(t)=Acos(ωt+φ),表示一个单频率的电信号,A称为信号幅度,ω称为角频率(弧度/秒),ω=2πf,f称为信号频率(赫兹),f=1/T,T称为信号周期(秒),t称为时间,(ωt+φ)称为信号的相位,φ称为信号的初始相位(弧度).

(2)对于函数f(x)=Asin(ωx+φ)水平平移,仅是针对水平坐标x进行,结果是会影响到函数的初相,即函数的频率不会改变,初相会发生改变.
例,将函数f(x)=1/2sin(x)右移π/2,==>f(x)=1/2sin(x-π/2)

(3)对于函数f(x)=Asin(ωx+φ)上下平移,仅是针对纵坐标y进行,结果是会影响到函数的值.
例,将函数f(x)=1/2sin(x)上移1个坐标单位,==>f(x)=1/2sin(x)+1.

(4)水平坐标单位的伸缩仅会影响函数的频率,不会影响函数的初相
例,将x坐标单位压缩一倍,函数f(x)=1/2sin(x)==>f(x)=1/2sin(2x)；函数f(x)=1/2sin(x+φ)==>f(x)=1/2sin(2x+φ)
将x坐标单位伸长一倍,函数f(x)=1/2sin(x)==>f(x)=1/2sin(1/2x)；函数f(x)=1/2sin(x+φ)==>f(x)=1/2sin(1/2x+φ)

(5)水平坐标单位的伸缩不仅会影响函数的频率,会影响函数的水平平移量
例,将x坐标单位压缩一倍,函数f(x)=1/2sin(x+φ)==>f(x)=1/2sin(2(x+φ/2))
将x坐标单位伸长一倍,函数f(x)=1/2sin(x+φ)==>f(x)=1/2sin(1/2(x+2φ))

了解了以上几点,来解释你的问题,在改变过程中,步骤的先后,一般是不会影响其结果的
我们来考察先压缩后平移
函数f(x)=1/2sin(x)
1)将水平坐标压缩到原来的1/2==>f(x)=1/2sin(2x)
2)再将f(x)=1/2sin(2x)水平右移(π/2)/2==>f(x)=1/2sin(2(x-π/4))= 1/2sin(2x-π/2)
3)再将f(x)=1/2sin(2(x-π/4))= 1/2sin(2x-π/2)向上移1个单位==> f(x)=1/2sin(2x-π/2)+1
∴原函数为f(x)=1/2sin(2x-π/2)+1