题目

解析几何初步
已知a∈R,直线(1-a)X+(a+1)-4(a+1)=0过定点P,点Q在曲线X²（平方）-XY+1=0上,则PQ连线斜率的取值范围是：

提问时间：2021-02-14

答案

楼主给的直线是不是缺了"y"?是不是直线方程应该为：(1-a)x+(a+1)y-4(a+1)=0?
我是按照这个猜测解的
首先求直线过的顶点：
对直线方程进行变换,使得y能够用x表示出来,最后的表达式是：
y=4+(a-1)x/(a+1)
可以观察出：当x=0时,y=4,也就是说,当x=0时,y的值与a的取值没有关系,故P这个定点应当为(0,4)
设Q（x,y）
则x,y满足曲线x^-xy+1=0,设PQ斜率为k,则有k=(y-4)/x
可由此式得出y=kx+4
将此代入曲线方程,最后整理可得到关于x的一元二次方程：
(1-k)x^-4x+1=0
显然,此方程应有实数根,于是有△=16-4(1-k)≥0
k≥-3
即PQ斜率的取值范围是[-3,+∞)