题目

拉格朗日定理证明的过程

提问时间：2021-02-13

答案

你可以自己查书,看书上的证法,下面我给你一个与书上不同的辅助函数构造法.
设f(x)在[a,b]连续,(a,b)可导,求证：存在ξ∈(a,b),使f(b)-f(a)=f '(ξ)(b-a).
证：构造F(x)=[f(b)-f(a)]x-f(x)(b-a)
显然F(x)在[a,b]连续,(a,b)可导
F(a)=[f(b)-f(a)]a-f(a)(b-a)=af(b)-bf(a)
F(b)=[f(b)-f(a)]b-f(b)(b-a)=af(b)-bf(a)
则F(a)=F(b)
因此,由罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使F'(ξ)=0
由F'(x)=[f(b)-f(a)]-f '(x)(b-a),则 [f(b)-f(a)]-f '(ξ)(b-a)=0
即 f(b)-f(a)=f '(ξ)(b-a)