题目

关于x的实系数方程x²-ax+2b=0的一根在区间[0，1]上，另一根在区间[1，2]上，则2a+3b的最大值为 ______．

提问时间：2021-02-13

答案

令f（x）=x²-ax+2b，
据题意知函数在[0，1]，[1，2]内各存在一零点，
结合二次函数图象可知满足条件

f(0)≥0 f(1)≤0 f(2)≥0

⇒

b≥0 1−a+2b≤0 4−2a+2b≥0

在直角坐标系中作出满足不等式的点（a，b）所在的可行域，
问题转化为确定线性目标函数：z=2a+3b的最优解，
结合图形可知当线性目标函数：z=2a+3b位于点C（3，1）即a=3，b=1时，
目标函数取得最大值9．
故答案为：9．

先把根的分布问题转化为函数的零点分布问题，再借助于函数f（x）=x²-ax+2b的图象找到函数满足的条件，再画出对应的可行域，在可行域内找2a+3b的最大值即可．

本题考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评：本题考查一元二次方程根的分布问题．在解决这一类型题时，常常是把其对应函数找出来，借助于图象来解．