题目

锐角三角形abc的三边bc,ac,ab的长分别a,b,c,它的外心到这三边的距离对应分别为m,n,p,则m:n:p=

提问时间：2021-02-13

答案

设外心为O,外接圆半径为R,则OBC面积=m*a/2
而∠BOC=2∠BAC OBC面积=R²sin（2∠BAC）/2=R²sinAcosA
m=2R²sinAcosA/a
m:n:p=(sinAcosA/a):(sinBcosB/b):(sinCcosC/c)
知sinA/a=sinB/b=sinC/c
所以m:n:p=cosA:cosB:cosC
而cosA=(b²+c²-a²)/(2bc),cosB=(a²+c²-b²)/(2ac),cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)