题目

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD．点P为底边BC的延长线上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，BM⊥DC于M．请你探究线段PE、PF、BM之间的数量关系：______．

提问时间：2021-02-12

答案

PE=PF+BM．
过点B作BH∥CD，交PF的延长线于点H，
∵PF⊥CD，BG⊥CD，∠PBH=∠DCB，
∴BM∥FH，PH⊥BH，
∴四边形BMFH是平行四边形，∠H=90°，
∴FH=BM，
∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，
∴∠ABC=∠PBH，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB=∠H=90°，
在△PBE和△PBH中，

∠PEB＝∠H ∠PBE＝∠PBH PB＝PB

，
∴△PBE≌△PBH（AAS），
∴PH=PE，
∴PE=PF+FH=PF+BM．

首先过点B作BH∥CD，交PF的延长线于点H，易证得四边形BMFH是平行四边形，即可得BG=FH，又可证得△PBE≌△PBH，即可得PH=PE，继而证得PE=PF+BM．

本题考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰梯形的性质．

考点点评：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．