题目

一个关于素数的证明
设A=P1^aP2^bP3^c.其中P是素数a,b,c..等等是指数然后它们乘起来.证明它们的因数的个数为（a+1)(b+1)(c+1）.比如说108=(2^2)(3^3)的所有因子为1,2,4,3,9,27,6,18,54,12,36,108共12个,这是我在《什么是数学》上看到的一个题,比较笨不会证..有什么错漏的地方指正一下...

提问时间：2021-02-12

答案

看成取数字或者取球的组合就好了.
把P1、P2、P3……看成红、绿、蓝……色的球
把A、B、C分别看成不同颜色小球的个数
那么单独取出红、绿、蓝……色小球的种数,分别就是：
取红色小球有【从不取到取完】 A + 1 种
取绿色小球有【从不取到取完】 B + 1 种
取蓝色小球有【从不取到取完】 C + 1 种
……
根据乘法原理,所有这些小球,从不取到取完的组合数就有：
(A + 1)(B+ 1)(C + 1)…… 种
显然,全不取对应因数1,全取对应该数本身.之中任意两个取法间,必然是球、色互不相同的,也保证了因数之间互不相等.