题目

有若干个球,他们分布在 2n+1 个袋中,如果甲取走一个袋,乙总可以把剩下 2n 个袋分成两组,每组 n 个袋,并且这两组球的个数相等,试证：每个袋中球的个数相等.

提问时间：2021-02-12

答案

设2n+1个整数a1到a(2n+1)具有性质P；从其中任意去掉一个,剩下的2n个数可以分成个数相等的两组,其和相等.证明这2n+1个整数全相等.
证明：分三步进行,每一步都有“不变量”的想法：
第一步 先证明这2n+1个数的奇偶性是相同的
因为任意去掉一个数后,剩下的数可分成两组,其和相等,故剩下的2n个数的和都是偶数,因此,任一个数都与这2n+1个数的总和具有相同的奇偶性；
第二步 如果a1到a(2n+1)具有性质P,则每个数都减去整数C之后,仍具有性质P,特别地取C=a1,得0.a2-a1,a3-a1,...a(2n+1)-a1
也具有性质P,由第一步的结论知,a2-a1,a3-a1,...a(2n+1)-a1 都是偶数；
第三步 由0,a2-a1,a3-a1,...a(2n+1)-a1 为偶数且具有性质P,可得0,(a2-a1)/2,(a3-a1)/2,...[a(2n+1)-a1]/2
都是整数,且仍具有性质P,再由第一步知,这2n+1个数的奇偶性相同,为偶数,所以都除以2后,仍是整数且具有性质P,余此类推,对任意的正整数 ,均有0,(a2-a1)/2^k,(a3-a1)/2^k,...[a(2n+1)-a1]/2^k
为整数,且具有性质P,因k可以任意大,这就推得a2-a1=a3-a1=...=a(2n+1)-a1 =0
即a1=a23=...=a(2n+1) .
得证