题目
f(x)=(x^2)/(3^x)且x属于正整数.证明f(x)小于等于4/9.我想要证明过程,
提问时间:2021-02-12
答案
f(x)=(x^2)/(3^x),x属于正整数
f(1)=1/3,f(2)=4/9,
下面证明当x≥2,x∈N*时,
f(x+1)0恒成立
f(x+1)/f(x)
=[(x+1)^2/3^(x+1)]/(x^2/3^x)
=(x+1)^2/(3x^2)
=(x^2+2x+1)/(3x^2)
(x^2+2x+1)/(3x^2)-1
=(-2x^2+2x+1)/(3x^2)
=[-2(x-1/2)^2+3/2]/(3x^2)
分子g(x)=-2(x-1/2)^2+3/2
在(1/2,+∞)为减函数
∵x≥2
∴g(x)≤g(2)=-3
f(1)=1/3,f(2)=4/9,
下面证明当x≥2,x∈N*时,
f(x+1)0恒成立
f(x+1)/f(x)
=[(x+1)^2/3^(x+1)]/(x^2/3^x)
=(x+1)^2/(3x^2)
=(x^2+2x+1)/(3x^2)
(x^2+2x+1)/(3x^2)-1
=(-2x^2+2x+1)/(3x^2)
=[-2(x-1/2)^2+3/2]/(3x^2)
分子g(x)=-2(x-1/2)^2+3/2
在(1/2,+∞)为减函数
∵x≥2
∴g(x)≤g(2)=-3
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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